线代实对称矩阵特征向量正交的问题，请帮忙解答

假设一个三阶实对称矩阵，有三个特征值3,3,1，又已知对应特征值为1 的特征向量(1,1,2)，这个时候求特征值为3的特征向量可以直接利用正交的性质列出方程x1
+x2+2x3=0求得的基础解系就是对应特征值为3的特征向量。那么，如果三个特征值不相同，比如为3,5,1，这个时候再按照这种方法来列方程得到的基础解系是什么呢？不太明白，还希望大侠们可以具体解释下啊，我糊涂死了，今天做到一个题做了N遍都没做对

还有一个关于二次型的问题，李永乐的线代辅导上有个题，具体我就不写了，有一个不明白的地方是，将一个二次型化为标准型之后是f=5y2^2+6y3^2，给出条件是x^Tx=2的时候，要求f的极大值，参考答案给出的是x^Tx=y^Ty=2，所以x^TAx=5y2^2+6y3^2<=6（y1^2+y2^2+y3^2）所以极大值为12
这里的小于等于是怎么的出来的？

---

假设一个厅配槐三阶实对称矩阵，有三个特征值3,3,1，又已知对应特征值为1 的特征向量(1,1,2)，这个时候求特征值为3的特征向量可以直接利用正交的性质列出方程x1+x2+2x3=0求得的基础解系就是对应特征值为3的特征向量。那么，如果三个特征值不相同，卖困比如为3,5,1，这个时候再按照这种方法来列方程得到的基础解系是什么呢？

实对称矩阵有性质。①不同特征值的特征向量互相正交。②每扮友个特征值的代数重

数与几何重数是相等的。

从②特征值1的特征子空间V是一维的。特征值3的特征子空间U是二维的。

从① R³＝V×U（直积），即U是V的正交补，V是已知的，正交补是唯一的，所

以，你用那个方法求出的两个向量，是V的正交补基底。从而也是U的基底。

至于特征值是3,5,1。那么只知道1的特征向量就不够了。因为按照原来的方法只

能得到1的特征子空间V的正交补，是3的特征子空间U与5的特征子空间W的直积。

不能确定U与W.所以，这种情况，必须知道两个特征值的特征向量，才能够确定

第三个特征值的特征向量。（方法还是齐次方程组求解，不过这次是两个方程，

而基础解系只有一个向量。）

[另外一道题。请你另外提问。特别是要把题目交代清楚，别人才好帮你。]

---

1.不同特征值对应的特征向量正交。求出来的基础解析中的两个向量刚好对应2个特征值3。如果3个特征值不同，正培缓核交向配掘量内积为0的方程哪旅解出的基础解析所含2个向量正交后，是不是不同特征值所对应的特征向量了？2.5y2^2+6y3^2<=6（y1^2+y2^2+y3^2），你运算后发现6y1^2+y2^2>=0这是显然成立的。

---