高等数学。 第17题

---

曲线积分与路径无关察简厅，则 ∂Q/∂x = ∂P/∂y
f'(x)+2e^(-x)= f(x), 即 f'(x)-f(x) = -2e^(-x)
为一阶线性微分方程，通解是
f(x) = e^x [C + ∫ -2e^(-x)e^(-x)dx] = e^x [C + ∫e^(-2x)d(-2x)]
= e^x [C + e^(-2x)] = Ce^x+e^(-x)
f(0) = 2 代入，得 C = 1，则 f(x) = e^x + e^(-x)
展成幂级数败隐是
f(x) = e^x + e^(-x) = ∑<n=0,∞>[x^n/n!+(-x)^n/n!]
= ∑<咐祥n=0,∞>2x^(2n)/(2n)! (-∞<x<+∞)

---