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中国剩余定理
民间传说着一则故事——“韩信点兵”。
秦朝末年,楚汉相争。一次,韩信将1500名将士与楚王大将李锋交战。苦战一场,楚军不敌,败退回营,汉军也死伤四五百人,于是韩信整顿兵马也返回大本营。当行至一山坡,忽有后军来报,说有楚军骑兵追来。只见远方尘土飞扬,杀声震天。汉军本来已十分疲惫,这时队伍大哗。韩信兵马到坡顶,见来敌不足五百骑,便急速点兵迎敌。他命令士兵3人一排,结果多出2名;接着命令士兵5人一排,结果多出3名;他又命令士兵7人一排,结果又多出2名。韩信马上向将士们宣布:我军有1073名勇士,敌人不足五百,我们居高临下,以众击寡,一定能打败敌人。汉军本来就信服自己的统帅,这一来更相信韩信是“神仙下凡”、“神机妙算”。于是士气大振。一时间旌旗摇动,鼓声喧天,汉军步步进逼,楚军乱作一团。交战不久,楚军大败而逃。
首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945(注:因为5、9、13、17为两两互质的整数,故其最小公倍数为这些数的积),然后再加3,得9948(人)。
在一千多年前的《孙子算经》中,有这样一道算术题:
“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?”按照今天的话来说:一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2,求这个数.
这样的问题,也有人称为“韩信点兵”.它形成了一类问题,也就是初等数论中解同余式.这类问题的有解条件和解的方法被称为“中国剩余定理”,这是由中国人首先提出的.
①有一个数,除以3余2,除以4余1,问这个数除以12余几?
除以3余2的数有:
2, 5, 8, 11,14, 17, 20, 23….
它们除以12的余数是:
2,5,8,11,2,5,8,11,….
除以4余1的数有:
1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29,….
它们除以12的余数是:
1, 5, 9, 1, 5, 9,….
一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中,只有5是共同的,因此这个数除以12的余数是5.
如果我们把①的问题改变一下,不求被12除的余数,而是求这个数.很明显,满足条件的数是很多的,它是 5+12×整数,
整数可以取0,1,2,…,无穷无尽.事实上,我们首先找出5后,注意到12是3与4的最小公倍数,再加上12的整数倍,就都是满足条件的数.这样就是把“除以3余2,除以4余1”两个条件合并成“除以12余5”一个条件.《孙子算经》提出的问题有三个条件,我们可以先把两个条件合并成一个.然后再与第三个条件合并,就可找到答案.
②一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2,求符合条件的最小数.
先列出除以3余2的数:
2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26,…,
再列出除以5余3的数:
3, 8, 13, 18, 23, 28,….
这两列数中,首先出现的公共数是8.3与5的最小公倍数是15.两个条件合并成一个就是8+15×整数,列出这一串数是8, 23, 38,…,再列出除以7余2的数 2, 9, 16, 23, 30,…,
就得出符合题目条件的最小数是23.
事实上,我们已把题目中三个条件合并成一个:被105除余23.
那么韩信点的兵在1000-1500之间,应该是105×10+23=1073人
中国有一本数学古书「孙子算经」也有类似的问题:「今有物,不知其数,三三数之,剩二,五五数之,剩三,七七数之,剩二,问物几何?」
答曰:「二十三」
术曰:「三三数之剩二,置一百四十,五五数之剩三,置六十三,七七数之剩二,置三十,并之,得二百三十三,以二百一十减之,即得。凡三三数之剩一,则置七十,五五数之剩一,则置二十一,七七数之剩一,则置十五,即得。」
孙子算经的作者及确实著作年代均不可考,不过根据考证,著作年代不会在晋朝之后,以这个考证来说上面这种问题的解法,中国人发现得比西方早,所以这个问题的推广及其解法,被称为中国剩余定理。中国剩余定理(Chinese Remainder Theorem)在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。
韩信被贬淮阴侯时高祖找他聊天高祖说:韩信你说寡人我能带多少兵。韩信说:10万绝对不能超过10万。高祖又说:你呢。韩信说:韩信点兵多多益善.高祖说:那你不是比我还厉害吗,那你为什么会被寡人抓到呢。韩信说:皇上您是将之将我是兵之将当然不如陛下您。
韩信点兵,在数学上又被称为是中国剩余定理或是孙子定理。具体是指韩信一次带了1500名士兵外出打仗,战死了四五百人,为了清楚剩下的人数,韩信让士兵三人一排,多出了两人;五人站一排,多出了4人;七人站一排,多出了六人,而韩信很快的就说出了还剩下的士兵的个数
韩信,西汉开国功臣、军事家,兵家四圣之一,汉初三杰之一,中国军事思想“兵权谋家”的代表人物,被后人奉为“兵仙”、“神帅”。但最终还是不免于被杀。究其原因,在与张良说的“锋芒过盛”,也就是功高盖主,被刘邦忌惮。他的一生可以概括为早期潦倒,中期展现锋芒,后期锋芒过盛,止于吕氏。
有很多人都曾经听说过韩信年轻时候的故事,他曾经能够忍受胯下之辱,而长大之后也没有回去报仇,但是对于曾经帮助过他的老人却能够知恩图报。据说当年他在最落魄的时候就连吃饭的钱都没有,当初是有一名老者每天接济他并且给他饭吃,而韩信一直都记在心上,等到他发达了之后,曾经派兵寻找过这名老人,并且给了这名老人一大笔财富。
韩信在加入到刘邦的阵营当中之后,展现出了非常卓越的军事才华。但他没有看出刘邦已经非常的忌惮他,甚至还表现的非常的嚣张,他的诸侯王的位置,甚至还是自己要过来的,本身这种行为就会让刘邦非常的不满意。只不过他自己根本就没有那个野心,最终死于吕后之手。而吕后最终没有获得任何惩罚,也就是说吕后的这种行为,实际上刘邦也是非常认可的。
其实韩信还是忠诚于刘邦的,没有造反的意思。清代包彬有诗维护他“鸟近良弓势必藏,千秋青史费评章。区区一饭犹图报,争肯为臣负汉王。”古人早就说过“狡兔死,走狗烹,飞鸟尽,良弓藏;敌国破,谋臣亡”。但是更多人认为他错在不懂明哲保身
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