设函数f(x)=1/3x³-ax(a＞0),g(x)=bx²+2b-1,若函数y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的焦点(1,c)

设函数f(x)=1/3x³-ax(a＞0),g(x)=bx²+2b-1①若函数y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的焦点(1,c)处具有公共切线，求a,b的值②当a=1-2b时，若f(x)+g(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点，求a的取值范围

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①f(x)=1/3*x^3-ax (a>0), f'(x)=x^2-a
g(x)=bx^2+2b-1, g'(x)=2bx
f(x)与g(x)在焦点(1,c)有公切线
则在焦点处函数值相同，且切线斜率相同
即有：f(1)=1/3-a=b+2b-1=g(1)
f'(1)=1-a=2b=g'(1)
联立可解得
a=1/3, b=1/3
②若a=1-2b，则 b=(1-a)/2
h(x)=f(x)+g(x)
=1/3*x^3-ax+(1-a)x^2/2-a
h'(x)=x^2+(1-a)x-a=(x+1)(x-a)
易知h(x)有两个极值点，分别为x=-1，x=a
若型茄a≤-1，则1-a≥2
极小值为h(-1)=-1/3+1/2-a/2>0
由曲线性质知，此卜粗察时最多只有一个零点
若a>-1，则1-a<2
欲凳族使h(x)在(-2,0)内恰有两个零点，则必有
极小值为h(a)=1/3*a^3-a^2+(1-a)a^2/2-a≤0
极大值为h(-1)=-1/3+1/2-a/2≥0
可解得 0≤a≤1/3
∴a的取值范围为[0,1/3]

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