高数各种求极限方法


高等数学经典求极限方法
阅读人数:1510人页数:7页
求极限的各种方法
1.约去零因子求极限
x41
例1:求极限lim
x1x1
【说明】x1表明x与1无限接近,但x1,所以x1这一零因子可以约去。
(x1)(x1)(x21)
【解】limlim(x1)(x21)6=4
x1x1x1
2.分子分母同除求极限
x3x2
例2:求极限lim3
x3x1
【说明】

型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。
11x3x21lim【解】lim3
x3x1x33x3
【注】(1) 一般分子分母同除x的最高次方;

0nn1
axan1xa0
(2) limnmm1xbxbxbmm10an
bn
mnmn mn
3.分子(母)有理化求极限
例3:求极限lim(x23x21)
x
【说明】分子或分母有理化求极限,是通过有理化化去无理式。 【解】lim(x3x1)lim
x
2
2
(x23x21)(x23x21)
x3x1
2
2
x
lim
2x3x1
2
2
x
0
例4:求极限lim
x0
tanxsinx
3
x
【解】lim
x0
tanxsinxtanxsinx
lim 33x0xx(tanxsinx)
1/7
lim
x0
tanxsinx1tanxsinx1
lim 33x0x024xxtanxsinx
lim
1
【注】本题除了使用分碰巧子有理化方法外,及时分离极限式中的非零因子是解...........题的关键
4.应用两个重要极限求极限
11sinx
两个重要极限是lim1和lim(1)xlim(1)nlim(1x)xe,第
xnx0x0xnx
1
一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。
x1
例5:求极限lim xx1
x
【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤:先凑出1,再凑数部分。
1
,最后凑指X
2
x1122122x12【解】limlim1lim1x11e xx1xxx1x12
x
x
1x2a
例6:(1)lim12;(2)已知lim8,求a。 xxxxa
xx
5.用等价无穷小量代换求极限 【说明】
(1)常见等价无穷小有:
当x0 时,x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1x)~e1,
x
12b
x,1ax1~abx; 2
(2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式; ..
1cosx~
(3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选。 .....
xln(1x)

x01cosxxln(1x)xx
【解】 limlim2.
x01cosxx012
x2
sinxx
例8:求极限lim
x0tan3x
例7:求极限lim
1sinxxcosx11sinxxxlimlimlim【解】lim 322x0x0x0x0tan3x6x3x3x
2
2/7
6.用罗必塔法则求极限
lncos2xln(1sin2x)
例9:求极限lim
x0x2
0
或型的极限,可通过罗必塔法则来求。 0
2sin2xsin2x

lncos2xln(1sin2x)cos2x2 【解】limlimx0x02xx2
【说明】
lim
sin2x21
3 x02xcos2x1sin2x
【注】许多变动上显的积分表示的衫袜极限,常用罗必塔法则求解
例10:设函或吵激数f(x)连续,且f(0)0,求极限lim
x0
x
(xt)f(t)dt
x0
.
xf(xt)dt
【解】 由于

x
f(xt)dt
xtu0

x
f(u)(du)f(u)du,于是
x
x
x
lim

x
(xt)f(t)dt
x0
x0
xf(xt)dt
x
lim
xf(t)dttf(t)dt
xf(u)du
0x
x0
=lim
x0
f(t)dtxf(x)xf(x)

x
=lim

x0
x
f(t)dt
0x
f(u)duxf(x)f(t)dt
f(x)
=
x0
f(u)duxf(x)

=lim
x0

x
f(u)du
f(0)1
.
f(0)
你好!本题当自变量趋于无穷时,因变量都趋于无穷。
思路:不知道在读高中还是大学,我简单说下极限思想吧!一个含有x 的多项式,当x 趋于无穷时,多项式的值只与多项式中x 次数最高项有关,与不同次数项的系数无关,比如说本题,当x 趋于(正负)无穷时,y 只与x^4有关,与(-6x^2),(8x),7都无关,因为x 趋于无穷时,他们的档宴值相对于x ^6都是无穷小!即它们虽然可能很大,但是和x^6比起来就很小了,没有讨论的必要性了,而x ^6是趋于无穷的,故y 也趋于无穷。
再说一下,当x 趋于零时,情况相反,多项式的值只与x 次数最低项有关,本题中y 只与7有关,与(x^6)(-6x^2),(8x)都无关,因为x 趋于无0时,他们的值相对于7都是无穷小!即它们系数虽然可能很大,但乘以一个无穷小的x 之后,就无穷小了,没有讨论的必要性了。呵呵,意会一下,可能说的乱了点。1,等价无穷小的代换:x趋近于0时,sinx~tanx~arcsinx~arctanx~x
ln(1+x)~e的x次方-1~x
1 -cosx~x²/2
a的x次方-1~xlna
(1+x的n次方)的a次行野银方-1~ax的n次方
如x趋近于0时lim[(1+x²)的3次方-1]/(1 -cosx)=3x²/x²/2
=6
2,当分子分母同时趋近于无穷大或无脊银穷小时,用洛必达法则,对分子分母分别求导
如x趋近于0时limsinax/sinbx=acosax/bcosbx=a/b
3,如果分子含根号,可以有理化
如x趋近于0时lim{[根号下(1+x²)]-1}/x=x/{[根号下(1+x²)]+1}=0/2=0
这是我做的一部分笔记,有不懂再告诉我吧
高等数学经典伍拍腔求极限方法
阅读人数:1510人页数:7页
求极限的各种方法
1.约去零因子求极限
x41
例1:求极限lim
x1x1
【说明】x1表明x与腔衫1无限接近,但x1,所以x1这一零因子可以约去。
(x1)(x1)(x21)
【解】limlim(x1)(x21)6=4
x1x1x1
2.分子分母同除求极限
x3x2
例2:求极限lim3
x3x1
【说明】

型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。
11x3x21lim【解】lim3
x3x1x33x3
【注】(1) 一般分子分母同除x的最高次方;

0nn1
axan1xa0
(2) limnmm1xbxbxbmm10an
bn
mnmn mn
3.分子(母)有理化求极限
例3:求极限lim(x23x21)
x
【说明】分子或分母有理化求极限,是通过有理化化去无理式。 【解】lim(x3x1)lim
x
2
2
(x23x21)(x23x21)
x3x1
2
2
x
lim
2x3x1
2
2
x
0
例4:求极限lim
x0
tanxsinx
3
x
【解】lim
x0
tanxsinxtanxsinx
lim 33x0xx(tanxsinx)
1/7
lim
x0
tanxsinx1tanxsinx1
lim 33x0x024xxtanxsinx
lim
1
【注】本题除了使用分子有理化方法外,及时分离极限式中的非零因子是解...........题的关键
4.应用两个重要极限求极限
11sinx
两个重要极限是lim1和lim(1)xlim(1)nlim(1x)xe,第
xnx0x0xnx
1
一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。
x1
例5:求极限lim xx1
x
【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤:先凑出1,再凑数部分。
1
,最后凑指X
2
x1122122x12【解】limlim1lim1x11e xx1xxx1x12
x
x
1x2a
例6:(1)lim12;(2)已知lim8,求a。 xxxxa
xx
5.用等价无穷小量代换求极限 【说明】
(1)常见等价贺明无穷小有:
当x0 时,x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1x)~e1,
x
12b
x,1ax1~abx; 2
(2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式; ..
1cosx~
(3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选。 .....
xln(1x)

x01cosxxln(1x)xx
【解】 limlim2.
x01cosxx012
x2
sinxx
例8:求极限lim
x0tan3x
例7:求极限lim
1sinxxcosx11sinxxxlimlimlim【解】lim 322x0x0x0x0tan3x6x3x3x
2
2/7
6.用罗必塔法则求极限
lncos2xln(1sin2x)
例9:求极限lim
x0x2
0
或型的极限,可通过罗必塔法则来求。 0
2sin2xsin2x

lncos2xln(1sin2x)cos2x2 【解】limlimx0x02xx2
【说明】
lim
sin2x21
3 x02xcos2x1sin2x
【注】许多变动上显的积分表示的极限,常用罗必塔法则求解
例10:设函数f(x)连续,且f(0)0,求极限lim
x0
x
(xt)f(t)dt
x0
.
xf(xt)dt
【解】 由于

x
f(xt)dt
xtu0

x
f(u)(du)f(u)du,于是
x
x
x
lim

x
(xt)f(t)dt
x0
x0
xf(xt)dt
x
lim
xf(t)dttf(t)dt
xf(u)du
0x
x0
=lim
x0
f(t)dtxf(x)xf(x)

x
=lim

x0
x
f(t)dt
0x
f(u)duxf(x)f(t)dt
f(x)
=
x0
f(u)duxf(x)

=lim
x0

x
f(u)du
f(0)1
.
f(0)