求下列向量组的一个极大无关组,并将其余向量用此极大无关组线性表示。

‍解: (a1^T,a2^T,a3^T,a4^T)=
1 1 1 1
1 1 0 2
1 0 0 -3
r1-r2,r2-r3
0 0 1 -1
0 1 0 5
1 0 0 -3
r1<->r3
1 0 0 -3
0 1 0 5
0 0 1 -1
所以 a1,a2,a3 是一个极大无关组, 且 a4=-3a1+5a2-a3.
解: (a1^T,a2^T,a3^T,a4^T)=
1 1 1 1
1 1 0 2
1 0 0 -3
r1-r2,r2-r3
0 0 1 -1
0 1 0 5
1 0 0 -3
r1<->r3
1 0 0 -3
0 1 0 5
0 0 1 -1
所以 a1,a2,a3 是一个极大无关组, 且 a4=-3a1+5a2-a3.

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行列式
1 1 1
1 1 0
1 0 0
=1，
∴向量a1,a2,a3线性无关，每个向量只有3个分量，
∴向量组a1,a2,a3是线性无关极大组。
设a4=xa1+ya2+za3,则
x+y+z=1,
x+y =2,
x =-3.
解得x=-3,y=5,z=-1.
∴a4=-3a1+5a2-a3.

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