（1）求证：A1D⊥平面A1BC；
（2）求：二面角A 1—BC—D的正切值。
（3）求：直线CD与平面A1BD所成角的正弦值。
设A1在面BCD的射影为K
1.
证明：因为A1K⊥面BCD，且BC在面BCD内
所以A1K⊥BC
而DK⊥BC，DK∩A1K=K
所以BC⊥面A1DK
从而咐困BC⊥A1D
又因为A1D⊥A1B，A1B∩BC=B
所以A1D⊥面A1BC
2.因为CK⊥BC，BC=面A1BC∩面BCD
所以二面角A 1—BC—D为角A1CK
设DK=x，
A1K=√(A1D²-DK²)=√(12-x²)
BK=√(A1B²-A1K²)=√(36-12+x²)=√(24+x²)
由BK²=CK²+BC²得
24+x²=(6-x)²+12
x=2
于是二面角A1-BC-D的正切值为tanA1CK=A1K/CK=2√2/4=√2/2
3.
用等体积法
V(A1BCD)=1/3*A1K*S(三角早圆形BCD)=1/3*d*S(三角形A1BD),其中d是C到面A1BD的距离
而三角形BCD和三角形A1BD的面积相等
所以d=A1K=2√2
则所求正弦值=2√2/CD=2√2/6=√2/衡睁念3
无图无真相，证明也不直观
如上作图：ABCD为矩形，ABD平面沿BD向上折起，直到A映射族颂到CD上的O点上。
则A1O⊥CD，△A1BD≡△CDB。
（1）求证：兆升郑A1D⊥平面A1BC；
∵A1O⊥平面BCD
∴A1O⊥BC
∵BC⊥CD
∴BC⊥笑神平面A1CD
∴BC⊥A1D
又∵A1D⊥A1B
∴A1D⊥平面A1BC
（2）求：二面角A 1—BC—D的正切值。
∵BC⊥平面A1CD
∴∠A1CD大小为二面角A 1—BC—D的大小
∵A1D⊥平面A1BC
∴△A1CD为直角三角形，∠CA1D为直角
∴A1C^2=CD^2-A1D^2=6^2-(2√3)^2=24，即A1C=√24
∴tan∠A1CD=A1D/A1C=2√3/√24=√2/2
（3）求：直线CD与平面A1BD所成角的正弦值
∵ A‘O⊥BC，CD⊥BC
BC⊥平面A'CD
∴ BC⊥A'D
又 ∵ A'D⊥A'B
∴ A'D ⊥平面州游A'BC
A'C⊥BC ，DC⊥BC
二面角A '—BC—D=∠A'CD ,
A'C⊥A'D
∠CA'D =90度
A'C=√(A'B²-BC²)=√24 , A'D=AD=√12
tan∠A'CD=A'D/A'C=√2 /2
A'D⊥A'B , A'D⊥A'C
二面角B-A'C-D=∠BA'C
Sin(CD-平册历销面A1BD)=sin∠A'DC *sin∠BA'C
=(2√烂唤6 /6) *(√3 /3)
=√2 /3