f(x)=-x+lnx+1，证明：1/（x+1)<ln(x+1/x)<1/x.

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对f(x)求导得
f'(x)=-1+(1/x)
分析一下单调性可知
f(x)在和(1,+无穷)为减函数
在(0,1)上为增函数
所以f(x)最大值纯陵纯为f(1)=0
那么f(x)小于等于0
用(x+1)/x代入
f(x)得ln((x+1)/x)-((1/x) +1) +1 <0(由于(x+1)/x不可能等于1,你可以试下汪掘的.所以等号取不到)
得ln((x+1)/x)<1/x
再用x/(x+1)代入做咐f(x)
得
-x/(x+1) + (ln(x/(x+1)) +1<0
即l整理得1/（x+1)<ln(x+1/x)

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证明
对g(x)=lnx,在[x,x+1]运用lagrange中枯迅值定理
g(x+1)-g(x)=ln[(x+1)/x]=g'燃兄(m)[(x+1)-x]=1/m,x<m<x+1
又1/(x+1)<1/m<1/x
得1/(x+1)<ln[(x+1)/x]<1/x

取x=n有
1/(n+1)<ln[(n+1)/n]<1/n
将n从1取到n-1累加有
1/2+1/3+1/4+...+1/没段此(n-1)<ln[n/(n-1)]+...+ln(3/2)+ln(2/1)<1+1/2+1/3+...+1/(n-1)
即1/2+1/3+...+1/n<lnn<1+1/2+...+1/(n-1)

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