用数列哪条定理推出这个公式?a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈{1,2,…,n}

解答：
就是利用的等差数列的通项公式。
a1+an=a1+a1+(n-1)d=2a+(n-1)d
a2+a(n-1)=a1+d+a1+(n-2)d=2a1+(n-1)d
a3+a(n-2)=a1+2d+a1+(n-3)d=2a1+(n-1)d
.......
ak+a(n-k+1)=a1+(k-1)d+a1+(n-k)d=2a1+(n-1)d

所以，有a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈{1,2,…,n}

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你说的这个公式只适用于等差数列。对于其他的等比啊啥的完全不适用。等差数列的步长是一定的，所以an=a1+(n-1)*A 假设A为步长
那么an+a1=an-A+a1+A=an-1+a2=......=an-(k-1)A+a1+(k-1)A=ak+an-k+1

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