设函数f(x)可导,且满足f(x)=1+2x+∫(上限x下限0)tf(t)dt-x∫(上限x下限0)f(t)dt,试求函数f(x).
答:f(x) = 2sinx + cosx
f(x) = 1 + 2x + ∫(0~x) tf(t) dt - x∫(0~x) f(t) dt ...(1)
f'(x) = 2 + xf(x) - [∫(0~x) f(t) dt + xf(x)]
f'(x) = 2 - ∫(0~x) f(t) dt
f''(x) = -f(x)
f''(x) + f(x) = 0 ...(2)
特征方程:哪纳禅r² + 1 = 0 => r = ±i
f(x) = Asinx + Bcosx,A、B为任意常李尘数
由(1):f(0) = 1
=> f(0) = Asin(0) + Bcos(0) = B
=>茄橘 B = 1
f(x) = Asinx + cosx,代入(1):
Asinx + cosx = 1 + 2x + ∫(0~x) (t - x)(Asint + cost) dt
Asinx + cosx = 1 + 2x + Asinx + cosx - Ax - 1
=> A = 2
所以f(x) = 2sinx + cosx
相关内容
- 设函数f<x>=√(e^x+x-a)[a∈R,e为自然对数的底数],
- 设函数f(lgx)的定义域是【0.1,100】,求函数f(x/2)的定义域
- 设函数f(x)=(2-a)lnx+1/x+2ax.
- 设函数f(x)=(a2+4a-5)-4(a-1)x+3的图像都在x轴的上方,求实数a的取值范围
- 设函数f(x)=(ax+b)/(x^2+1)的值域为【-1,4】,求a,b的值。
- 设函数f(x)=-x 1+|x| (x∈R),区间M=[a,b](a<b),集合N={y|y=f(x),x∈M},则使M=N成立的实数
- 设函数f(x)=1/3x³-ax(a>0),g(x)=bx²+2b-1,若函数y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的焦点(1,c)
- 设函数f(x)=1/3x^3-a/2x^2+bx+c,,其中a>0,曲线y=f(x)在点P(0,f(0))处的切线方程为