根据正弦定理，b/sinB=a/sinA=2a/2sinA=c/sinC,
b/sinB=(2a+c)/(2sinA+sinC),
AB=c,BC=a,
2a+c=[√3/（√3/局粗锋2）]*（2sinA+sinC)=2*（2sinA+sinC),
∵桐晌B=60°，
∴C=120°-A，
2a+c=2*[2sinA+sin(120°-A)]
=2(2sinA+sin120°cosA-cos120°sinA)
=2[2sinA+cosA(√3/2)+(sinA)/2]
=5sinA+√3cosA
=2√7[sinA*5/(2√7)+√3/(2√7)cosA]
令5/(2√7)=cosφ，√3/（2√7）凳弯=sinφ,
2a+c=2√7sin(A+φ),
∵-2√7≤A+φ≤2√7
∴AB+2BC最大值 2√7.
由公式AC^2=AB^2+BC^2-2cosB|AB||BC|
有 AB^2+BC^2-|AB||BC|=3
设AB＋2BC=a BC=x 则AB=a-2x 代入上圆让式
得到 7x^2-5ax+a^2-3=0
上式有解且x>0
故岩高有25a^2-28(a^2-3)>=0 得0<a<=2√7
所以AB＋2BC的橘枣局最大值为2√7
过派仿竖A做AD垂直大运BC于D点，设DB等于X......
AB+2BC=6-6X^2+4X
配方求尘大其最大值即可
2根号7
2*根号7