xn=(n!/n^n)^(1/n)。
两边取对数，
lnxn=(1/n)*(ln(1/n)+ln(2/n)+ln(3/n)+···+ln(n/n))。
上式可看成f(x)=lnx。
在[0，1]上的一个积分和。即对[0，1]。
区间作n等分，每个小区间长1/n。
因此当n趋于无穷时，lnxn等于f(x)=lnx在[0，1]上的定积分。
lnx在[0，1]上虚谨腊的定积分为-1。
所以lnxn在n趋于无穷时的极限为-1。
由于xn=e^(lnxn)。
于是xn在n趋于无穷时的极限值晌让为1/e。
对定义的理解：
因为ε是任意小的正差滑数，所以ε/2 、3ε 、ε2等也都在任意小的正数范围，因此可用它们的数值近似代替ε。同时，正由于ε是任意小的正数，我们可以限定ε小于一个某一个确定的正数。
N的相应性 一般来说，N随ε的变小而变大，因此常把N写作N(ε)，以强调N对ε的变化而变化的依赖性。但这并不意味着N是由ε唯一确定的：（比如若n>N使|xn-a|<ε成立，那么显然n>N+1、n>2N等也使|xn-a|<ε成立）。重要的是N的存在性，而不在于其值的大小。