解法亩棚伏一：原式=e^{lim(x->+∞)[x(ln(arctanx)+ln(2/π))]} (应用初等函数的连续性和对数性质)
=e^{lim(x->+∞)[(ln(arctanx)+ln(2/π))/(1/x)]}
=e^{lim(x->+∞)[((1/arctanx)(1/(1+x²)))/(-1/x²)]} (0/0型极限，应用罗比达法则)
=e^{lim(x->+∞)[(1/arctanx)(-1/(1+1/x²))]}
=e^[(1/(π/2))(-1/(1+0))]
=e^(-2/π)；
解法二：原式=lim(x->+∞){[(1+(2arctanx-π)/π)^(π/(2arctanx-π))]^[x(2arctanx-π)/π]}
={lim(x->+∞)[(1+(2arctanx-π)/π)^(π/(2arctanx-π))]}^{lim(x->+∞)[x(2arctanx-π)/π]}
=e^{lim(x->+∞)[x(2arctanx-π)/π]} (应用重要极限lim(z->0)[(1+z)^(1/z)]=e)
=e^{lim(x->+∞)[(2arctanx-π)/(π/x)]}
=e^{lim(x->+∞)[(2/(1+x²))/(-π/x²)]} (0/0型极限，应用罗比达法则)
=e^{lim(x->+∞)[(-2/π)(1/(1+1/x²))]}
=e^[(-2/π)(1/(1+0))]
=e^(-2/π)。
求极限基本方法有：
1.直接代入法
对于初等函数f（x）的极限f（x），若f（x）在x点处的函数值f（x）存在，则f（x）=f（x）。
直接代入法的本质就是只要将x=x代入函数表达式，若有意义，其极限就是该函数值。
2.无穷大与无穷小的转换法
在相同的变化过程中，若变量不取零值，则变量为无穷大量?圳它的倒数为无穷小量。对于某些特殊极限可运用无穷大与无穷小的互为倒数关系解决。
（1）当分母的极限是“0”，而分子的极限不是“0”时，不能直接用极限的商的运算法则，而应利迅携用无穷大与无穷小的互为倒数的关系，先求其的极限，从而得出f（x）的极限。
（2）当分母的极和逗限为∞，分子是常量时，则f（x）极限为0。
3.除以适当无穷大法
对于极限是“”型，不能直接用极限的商的运算法则，必须先将分母和分子同时除以一个适当的无穷大量x。