求证：根号2为无理数
用反证法; 假设根号2是有理数, 那么就有两个互素整数m,n使基塌得
根号2=m/n
m=n*根号2
两边平方得
m平方=2n平方
m平方是偶数, 从而m也是偶数,令m=2q, 代入上式得
2q平方=n平方
于是n也是偶数. 这与前面假设m,n互素矛盾
故根号2不可能是有理数.
π为无理数
假设∏是有理数，则∏=a/b，（a,b为自然数）
令f(x)=(x^n)[(a-bx)^n]/(n!)
若0<x<a/b,则
0<f(x)<(∏^n)(a^n)/(n!)
0<sinx<1
以上两式相乘得：
0<f(x)sinx<(∏^n)(a^n)/(n!)
当n充分大时，,在[0，∏]区间上的积搏燃圆分有
0<∫f(x)sinxdx <[∏^(n+1)](a^n)/(n!)<1 …………（1）
又令：F(x)=f(x)-f"(x)+[f(x)]^(4)-…+[(-1)^n][f(x)]^(2n),(表示偶数阶导数)
由于n!f(x)是x的整系数多项式，且各项的次数都不小于n，故f(x)及其各阶导数在x=0点处的值也都是整数，因此，F(x)和F(∏)也都是整数。
又因为
d[F'(x)sinx-F(x)conx]/dx
=F"(x)sinx+F'(x)cosx-F'(x)cosx+F(x)sinx
=F"(x)sinx+F(x)sinx
=f(x)sinx
所以有：
∫f(x)sinxdx=[F'(x)sinx-F(x)cosx]，（此处上限为∏，下限为0）
=F(∏)+F(0)
上式表示∫f(x)sinxdx在[0，∏]区间上的积分为整数，这与（1）式矛盾。所以∏不是有理数，又它是实数，故∏是无段或理数。
假设根号2是有理数,即陆歼链可以表示为p/q ,p q 互质
则 根号改亏2 * q =p
2q^2 = p
所以p 是偶数,用2k表示
2q^2 = 4k^2
那么 q^2 = 2k^2
那么 q也是偶数
这和p,q互质矛盾,所以 根号2无理
同样假设π有早孙理, =p/q p,q互质
π*q =p
即p含有π的因子,设p=πk
有π * q = π^2 * k^2
q = π * k^2
所以q也含有π的因子,与p,q互质矛盾
所以π无理
为方便书写，记根号2=x,假设x为有铅野历理数，则x=p/q，其脊脊中p.q互质
x^2=2=p^2/q^2
p^2=2q^2
p^2=(2^p1)*(3^p2)……
2q^2=(2^q1+1)*(3^q2)……
2p1是偶数，2q1+1是奇数，所以槐搜2p1≠2q1+1
推出矛盾，所以根号2是无理数