请解释高数例题：1、∫tan ^2 x sec xdx 2、∫1/x^2+4 dx 3、∫tanx dsec^(n-2) x

解：1、∫tan ^2 x sec xdx =∫tan xd（sec x）=secx tanx -∫sec xd(tanx)
2、∫1/x^2+4 dx =1/2arctan(x/2) +c
3、∫tanx dsec^(n-2) x=(n-2)∫sec^(n-3) xtan^2 xdx
请问：1、∫tan xd（sec x）=secx tanx -∫sec xd(tanx)是怎么推出来的？
2、∫1/x^2+4 dx =1/2arctan(x/2) +c又是如何推出来的？
3、∫tanx dsec^(n-2) x=(n-2)∫sec^(n-3) xtan^2 xdx是不是不对，应该等于
(n-2)∫sec^(n- 2 ) xtan^2 xdx

---

= =建议你还是先把橘宽前面的基本积分公式背熟在来做题吧。
1 ∫tanxsecx=secx 所以原式里面的tan^2xsecx 可以拆成(tanxsecx)*tanx 把(tanxsecx)代到圆肢亮后面变成secx. 利用分部积分法。∫udv=uv-∫vdu就可以 化出来了
2 ∫1/1+x^2 dx=arctanx+c 你只要看到A+X^2就应该想到是这个式子。。分母把4提出来，变成2*1/4∫1/1+(x/2)^2 dx/2 在这里饥纤要注意一点。原本是dx要跟下面的分母x/2dx对应。变成x/2dx之后为了还原、前面要乘以一个2。
3.把sec^(n-2)x 求导提到前面去。
你可以把这里面的secx看做一个X 。x^u求导不就等于ux^u-1。同时还得对secx求导 (sec^n-2)'=(n-2)sec^(n-3)*secx*tanx 乘以前面的tanx 等式等于(n-2)∫sec^(n- 2 ) xtan^2 xdx

---

1. ∫ tan x d(sec x)=secx tanx -∫ sec x d(tanx).
这步是分改升部积分法.
∫ u dv =uv -∫ v du +C.
这里 u =tan x, v=sec x.

= = = = = = = = =
2. ∫ 1 /(x^2+4) dx =(1/2) arctan (x/2) +C.
这是历迹公式：
∫ 1 /(x^2+a^2) dx =(1/a) arctan (x/a) +C.
详见书上推导. (换元法).

特别地, 当a=1 时,
∫ 1 /(x^2+1) dx =arctan x +C.
上面这个是基本公式.

= = = = = = = = =
3. d [ (sec x)^(n-2) ] =(n-2) (sec x)^(n-3) d (sec x)
=(n-2) (sec x)^(n-3) *(sec x tan x) dx
=(n-2) (sec x)^(n-2) *tan x dx.

然后前面再肢歼并 *tan x 就得到
tan x d [ (sec x)^(n-2) ] =(n-2) (sec x)^(n-2) *(tan x)^2 dx.

---

1、利用分部积分公式：∫u(x)dv(x)=u(x)v(x)-∫v(x)du(x)，直接可得；
2、本题是利用凑微分法得到的：
∫1/(x²让悉+4)dx
=∫[1/1+(x/2)²]·(1/4)dx
=(1/2)∫[1/1+(x/2)²]·(1/2)dx
=(1/李桥2)∫[1/1+(x/坦扰乎2)²]·d(x/2)
=(1/2)arctan(x/2)+c
3、你是对的。

---

1. d(secx)=secxtanxdx或d(secx)=d(1/cosx)=[sinx/cos²x]dx=secxtanxdx
2. ∫[1/(x²巧铅尺+4)]dx=(1/2)∫{1/[(x/2)²+1)]}d(x/2)=(1/2)arctan(x/孝高2)+c
3、∫tanx dsec^(n-2) x=(n-2)∫tanxsec^(n-3) xd(secx)=(n-2)∫激困tanxsec^(n-3)x(secxtanx)dx
=(n-2)∫sec^(n-2)xtan²xdx【你是对的！】

---