用定义证明函数F(x)=根号x+1为[-1,+无穷大)剩上的增函数

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首先求定义域：根号x+1有意义，必须x+1>=0;x>=-1,就是定义域为[-1,+无穷大）
y=√x是递增函数，x+1也是增函数，两个递增函数的复合也是递增的。如果要证明的话可以用不等式：设x1,x2属于[-1,+无穷大），且x1<x2，F(x2)-F(x1)=√(x2+1) -√(x1+1)=
[(x2+1)--(x1+1)]/[√(x2+1)+√(x1+1)]，下面的 √(x2+1)+√(x1+1) 是肯定大于零的(x2>x1>=-1,x2>0)
只考虑上面的符号，x2+1-(x1+1)=x2-x1>0,所以F(x2)-F(x1)>0.由定义，F(x)是增函数

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设-1<=x1<x2
则f(x1)-f(x2)=根号(x1+1)-根号(x2+1)=(根号(x1+1)-根号(x2+1))(根号(x1+1)+根号(x2+1))/(根号(x1+1)+根号(x2+1))(这一步是分子有理化)=((x1+1)-(x2+1))/(根号(x1+1)+根号(x2+1))=((x1-x2)+2)/(根号(x1+1)+根号(x2+1))
因为x1<x2所以x1-x2<0所以))=((x1-x2)+2)/(根号(x1+1)+根号(x2+1))<0
所以f(x1)-f(x2)<0所以f(x1)<f(x2)所以f(x)在[-1,+无穷大)上增函数

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