各个 反三角函数的求导过程。
我知道最终结果,但不知它是怎样来的。
以y=arcsinx为例,来求反三角函数的求导过程。
(根据函数与反函数的导数关系来证明)
设函数x=siny,y∈(-π/2,π/2),它的反函数记为为y=arcsinx,x∈(-1,1)
函数f=sinx,x∈(-π/2,π/2)上单调,笑喊可导。x'=cosy≠0,y∈(-π/2,π/2)
根据函岁闭数与反函数的导数关系
则(arcsinx)'=1/cosy
y∈(-π/2,π/2)时,cosy>0
所以,
同理可以证明函数y=arccosx,y=arctanx,y=arccotx的导数。
【补充】
函数与反函数的导数关系:
设y=f(x)在点x的某邻域内乎升裂单调连续,在点x处可导且f'(x)≠0,则其反函数在点x所对应的y处可导,并且有
dx/dy = 1/(dy/dx)
比如y=arcsinx
两边取正弦得到siny=x,这历野是个隐函数,两边对x求导得:y`cosy=1,即
y`=1/cosy=1/cosarcsinx
由于cosarcsinx=1/(1-x^2)^0.5
所以arcsinx导弊盯数为1/(1-x^2)^0.5
其他的都一样肢卜喊
根据反函数求导dx/dy=1/(dx/dy),我们伏败喊看出y=arcsinx,所以缺野siny=枯液x。
dy/dx=cosy所以dx/dy=1/cosy,cosy=根号下1-siny^2,所以y的导数=根号下1-x^2
上面的回答的很详细也正确,如别还有别的不懂的话可以买本高等
经济数学,上面有详细解答的!
反函数的导数等于直接函数导数的倒数。高等数学第六版上册 高等
教育出版社P91有详细的过程