一质量为m的物体以速度v0从原点沿y轴正方向上升，假设空气阻力与物体的运动速度平方成正比（比例系数k＞0

一质量为m的物体以速度v0从原点沿y轴正方向上升，假设空气阻力与物体的运动速度平方成正比（比例系数k＞0），试求物体上升的高度所满足的微分方程及初始条件，并求物体上升的最大高度．
根据牛顿第二笑扮定律，物体上升的高度y=y（t）所满足的微分方程为m
d2y
dt2
＝?mg?k(
dy
dt
)2，
初始条件为y（0）=0，y'（0）=v0.v＝
dy
dt
代入方程，得m
dv
dt
＝?mg?kv2，
dv
dt
＝?g?
kv2
m
，
记a2＝g，b2＝
k
m
，
dv
dt
＝?a2?b2v2，∫
dv
a2+b2v2
＝?∫dt，
积分得
1
ab
arctan
bv
a
＝?t+C，t=0时，v=v0，故C＝
1
ab
arctan
bv0
a
，顷升
1
ab
arctan
bv
a
＝?t+
1
ab
arctan
bv0
a
，
令v=0，得上升到最高点的时间碰乎灶为t1＝
1
ab
arctan
bv0
a
arctan
bv
a
＝ab(t1?t)，v＝
a
b
tanab(t1?t)
上升的最大高度为y＝
∫
 t1
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