在8×8的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系,已知A(2,4),B(4,2).C是第一象限内的一个格点,由点C与线段AB组成一个以AB为底,且腰长为无理数的等腰三角形.(1)填空:C点的坐标是______,△ABC的面积是______;(2)将△ABC绕点C旋转180°得到△A1B1C1,连接AB1、BA1,试判断四边形AB1A1B是何种特殊四边形,请说明理由;(3)请探究:在x轴上是否存在这样的点P,使四边形ABOP的面积等于△ABC面积的2倍?若存在,请直接写出点P的坐标(不必写出解答过程);若不存在,请说明理由.
解答:解:(1)(1,1),4;
(正枣2)四边形AB
1A
1B是矩形.
∵AC=A
1C,BC=B
1C,AC=BC
∴AA
1=BB
1∴四边形AB
1A
1B是矩形
(3)∵S
△ABC=S
梯形ABDE+S
矩形BDCF-(S
△AEC+S
△BCF)=
×(1+3)×2+3×1-
×1×3-
×1×3=4,
∴四边形ABOP的面积等于8.
同(1)中的方法得到三点A,B,O构成的面积为6.当P在O左边时,郑悔△APO的面积应为2,高为4,那么底边喊清正长为1,所以P(-1,0);
故点P的坐标为(-1,0).