已知函数fx=1/3x^3+1/2ax^2+bx的两个极值点x1,x2


若x1∈(-∞,-1],x2∈[2,+∞),则a+b的最大值是

答:

f(x)=x³/3+ax²/2+bx

求导:

f'(x)=x²+ax+b

极值点x1∈(-∞,-1],x2∈[2,+∞)

则x1和x2是方程x²+ax+b=0的两个解

根据韦达定理有:
x1+x2=-a

x1*x2=b

抛物线g(x)=x²+ax+b开口向上芦雀,对称轴x=-a/2

显然:-1<x=-a/2<2

所以:-4<a<2

f(0)=b<0

f(-1)=1-a+b>=0

f(2)=4+2a+b>=0

根据上述4个不等式,以a为x轴、b为y轴建立直角坐标系绘制如下图

满足条件的区间是三角形ABC内及AC、AB两线段,不包括BC线段梁哗蠢(除端点B和C)

但A(-1,-2)橡陪,B(1,0),C(-2,0)

a+b=k即直线b=-a+k

最大值在直线经过点B时取得K=1+0=1

所以:a+b的最大值为1



解析:∵函数f(x)=1/3x^3+1/嫌枝2ax^2+bx的两个极值点x1,x2
令f'(x)=x^2+ax+b
∵f(x)极值点x1∈(-∞,-1],x2∈[2,+∞)
则x1和x2是方程x^2+ax+b=0的两个解
⊿=a^2-4b>0
X1=(-a-√(a^2-4b))/2,X2=(-a+√销腊(a^2-4b))/2
(-a-√(a^2-4b))/2<亏者滑=-1==>√(a^2-4b)>=2-a==>a-b>=1 (1)
(-a+√(a^2-4b))/2>=2==>√(a^2-4b)>=4+a==>2a+b<=-4 (2)
(1),(2)联立解得a<=-1,b<=-2
∴a+b的最大值为-3