个除以3余1，除以4余2，除以5余4，求满足条件的最小的自然数？
解析:使用剩余定理的解法是：
第一个数:能同时被3和4整除,但除以5余4,即12×2=24
第二个数:能同时被4和5整除,但除以3余1,即20×2=40
第三个数:能同时被5和3整除,但除以4余2,即15×2=30
3、4、5的最小公倍数60
所以24+40+30-60=34
请问，12×2=24，20×2=40，15×2=30中的乘数2是怎么得出来的呢？
同样道理，另一个数，除以9余5，除以7余1，除以5余2，求最小值。
第一个数:能同时被9和7整除,但除以5余2,即63×4=252
第二个数:能同时被7和5整除,但除以9余5,即35×4=140
第三个数:能同时被5和9整除,但除以7余1,即45×5=225
5、7、9的最小公倍数315
所以252+140+225-315=302
问题中的×2与补充问题中的×4，×5的解释最好可以相通。
2楼的回答只能具体代入题干中的问题，不能扩展到其它的题目中……
要广义的解释这个数的话，难道要采取1楼的一个一个代入法了？
希望各位大虾不啬指教！
为了方便用X≡a(mod m)表示X用m除余数为a，aX≡b(mod m) 表示并帆aX用m除余数为b,这称为同余式，那么两题如下去解：
1．求X满足同余式组
X≡1(mod3), X≡2(mod4), X≡4(mod5),
先求X1，X2，X3，它们分别满足同余式
20X1≡1(mod3), 15X2≡2(mod4), 12X3≡4(mod5),
（20=4×5，15=3×5，12=3×4）
解得X1≡2(mod3), X2≡2(mod4), X3≡2(mod5),（如何解下面讲）
求得上面三个同余式均是2，3个2是巧合，
故得X≡20×2+15×2+12×2≡94(mod60),X=34。
2．求X满足同余式组
X≡5(mod9), X≡1(mod7), X≡2(mod5),
先求X1，X2，X3，它们分别绝携雹满足同余式
35X1≡5(mod9), 45X2≡1(mod7), 63X3≡2(mod5),
解得X1≡4(mod9), X2≡5(mod7), X3≡4(mod5),
故得X≡35×4+45×5+63×4≡617(mod315),X=302。
如何求同余式20X1≡1(mod3), 15X2≡2(mod4)，12X3≡4(mod5),等等，对你们中学生来说用尝试法即可，只要3，4，5互质（9，7，5互质），同余式必有解，如12X≡4(mod5),将X=1，2，...,5代入尝试，X=1时，12X用5除余2，X=2，12X用5除余4，故隐携X=2是解，尝试法计算量不大，m=5，最多尝试5次，m=9, 最多尝试9次,如35X≡5(mod9)，最多尝试9次，将X=1,2,3,…,9代入即可，如果你不想用尝试法，方法很多，但不如尝试法来的简单，如计算12X≡4(mod5)，（1）一种是求不定方程，12X≡4(mod5)等价于求二元不定方程的整数解12X-5Y=4，可用欧几里得辗转相除法来求。
（2）先求12X≡1(mod5)的解，利用欧拉定理（这是数论重要定理a^(p-1)≡1(modp)）直接求得X≡12^(5-2) (mod5)，X≡12^3 ≡2^3=8≡3，12X≡4(mod5)的解为X≡4×3≡2(mod5)，这种方法求同余式aX≡b(modm)要求a,m互素。
可参看看我写的一篇文章：
http://hi.baidu.com/lca001/blog/item/0a9922b499759ac337d3ca34.htmlhttp://hi.baidu.com/lca001/blog/item/99f0e123876cdeffd6cae277.html
【
数学团】【解】：
这个问题的理解在于倍余定理，a=b (mod c)，则：na=nb (mod c)
a除以c的余数为b，那么n倍a除以c的余数为nb。【nb不一定小于c】
看你的例子：
“第一个仔伏迹数:能同时被3和4整除,但除以5余4,即12×2=24”
同时被3和4整除，则这个厅旦数为12n
这个数除以5余4，但12除以5余2，念并4=2*2
所以n=2，这个数为12。
同理：
“第二个数:能同时被7和5整除,但除以9余5,即35×4=140”
35= 8(mod 9)
35n= 5(mod 9)=32 (mod 9) 【5不是8的倍数，因此加9k到32】
32=8*4
所以，n=4，这个数为35*4=140。
……
这样可以理解吧。
分析：上面算式中×2都是根据余数来确定的：
第一个数腊早:能同时被3和4整除,但除以5余4,即12×2=24
因为12/5余2，不是裤乎余4，所以胡局悉4/2=2，即扩大2倍就是余4了
(12×2)/5 余4
同理：第二个数:能同时被4和5整除,但除以3余1,即20×2=40
因为20/3余2,不是余1（即余1+3=4）,所以4/2=2即扩大2倍
(20*2)/3 余1
第三个数:能同时被5和3整除,但除以4余2,即15×2=30
因为15/4余3，不是余2(即余2+4=6)，所以6/3=2 即扩大2倍
（15*2）/4余2
这个应该比较容易理解：
假设A=m×B+C, A为被除数，m为商，N为被除皮知数，C为余数，
方程两边同时乘以K，燃察消 K×A=K×（m×B+C）
K×A=mK×B+K×C
显然，被除数扩大K倍，除数不变，商和余数扩大为原来的K倍（此时的余数可能会大于除数，但没关系，再次取除完之后的正确余数）
利用这个结论，就可以判断到底应该乘以多少，才能使余没核数是我们想要的。
试一下吧，从1开始，1不行取2
大概是他没得2倍