高等代数设V是由n维实向量在标准度量下构成的欧氏空间，α是V中的一个单位向量，证明必存在一

高等代数

设V是由n维实向量在标准度量下构成的欧氏空间，α是V中的一个单位向量，证明必存在一个n阶实对称正交矩阵A使得α为A的第一列。

可以构造一个以a为第一列的Householder矩阵
设a=（a1，…，册备返an）^T
令b=（b1，…，bn）^T
其中令1-2b1^2=a1，则b1=√（（1-a1）/2），令州饥-2bib1=ai，则bi=-ai/（2b1）=-ai/（2√（1-a1）/2））（i=2，…，n）
则b^Tb=（1-a1）/2+a2^2/（2（1-a1））=（1-2a1+a1^2+a2^2+…+an^2）/（2（1-a1））=（1-2a1+1）/（2-2a1）=1
所以b为单位列向量
令A=E-2bb^T，则A的第一列为a
且A^T=（E-2bb^T）^T=E-2bb^T=A从而A为对称矩阵
AA^T=（E-2bb^T）滚则（E-2bb^T）=E-4bb^T+4bb^Tbb^T=E-4bb^T+4b（b^Tb）b^T=E，从而A为正交矩阵