详细的如图,直角梯形ABCD中,AD//BC,∠ABC=90°,一直AD=AB=3,BC=4

详细的如图,直角梯形ABCD中,AD//BC,∠ABC=90°,一直AD=AB=3,BC=4，懂点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速直线运动，动点Q从点D出发，沿线段DA向点A作匀速直线运动，过Q点垂直于AC于点M，交BC于点N。P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当Q点运动到A点，P、Q亮点同时停止运动，设点Q运动的时间为t秒。
（1）求NC，MC的长（用t的代数式表示）
（2）当t为何时，四边形PCDQ构成平行四边形
（3）是否存在某一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分？若存在，求t的值，不存在，说明理由。
（4）探究，t为何值时，△PMC为等腰三角形

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解：（1）在直角梯形ABCD中，
∵QN⊥AD，∠ABC＝90°，∴四边形ABNQ是矩形。
∵QD=t，AD=3，∴BN=AQ=3-t，∴NC=BC-BN=4-（3- t）= t+1。
∵AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，∴AC=5。
∵QN⊥AD，∠ABC＝90°，∴MN‖AB，∴△MNC∽△ABC，
即 ，∴MC=5t+1/4 .
（2）当QD=CP时，四边形PCDQ构成平行四边形。
∴当t=4-t，即t=2时，四边形PCDQ构成平行四边形。
(3)∵MN‖AB，
∴△MNC∽△ABC，要使射线QN将△ABC的面积平分，则△MNC与△ABC的面积比为1：2，即相似比为1： ，∴ ，即 ，∴t= .∴CN= ，MC= ，∴CN+MC= ，袜迅∵△ABC的周长的一半= =6≠ ，∴不存在某一时刻，使射线QN恰好将△告丛此ABC的面积和周长同时平分。
（4）分3种情况：
①如图，当PM=MC时郑芹，△PMC为等腰三角形。
则PN=NC，即3-t-t=t+1，
∴ ，即 时，△PMC为等腰三角形。

②如图，当CM=PC时，△PMC为等腰三角形。
即 ，
∴ 时，△PMC为等腰三角形。

③如图，当PM=PC时，△PMC为等腰三角形。
∵PC=4－t，NC=t+1，
∴PN=2t-3,
又∵ ，
∴MN= ，
由勾股定理可得[ ]2+（2t-3）2=（4－t）2，
即当t= 时，△PMC为等腰三角形。

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解：（1）∵QN⊥AD

∴∠AQN=90°

∵∠AQN=∠QAB=ABN=90°

∴四边形ABNQ是矩形

∴AQ=BN

∵AQ=3-t

∴BN=3-t

∵BC=4

∴CN=4-(3-t)=1+t

∵矩形ABNQ

∴毁樱衫NQ‖AB

∴△CNM∽△CAB

∴CN/CB=CM/CA

∵∠B=90°,AB=3,BC=4

∴AC=5

∴(1+t)/4=CM/5

∴CM=(5+5t)/4

（2）∵要使四边形PCDQ是平行四边形

且QD‖颂皮PC

∴QD=PC

∴t=4-t

t=2

(3)不存在

(4)t=11/9

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