俱怀逸兴壮思飞欲上青天揽明月2016-08-03TA获得超过12.2万个赞关注这题，昨天刚刚答了。这个不能用高斯定理，因为在这个比区域内，含有积分函数的奇点(0,0,0)所以分开来求即可。对于z=R和z=-R两个面∑1和∑2，因为dz=0而且两个面处，z=R处的投影，是朝上的圆面α。z=-R处的投影，是朝下的圆面-α。所以∫∫∑1+∑2(xdydz+z^2dxdy)/(x^2+y^2+z^2)=∫∫∑1+∑2(z^2dxdy)/(x^2+y^2+z^2)=∫∫α(R^2dxdy)/(x^2+y^2+R^2)+∫∫(-α)(R^2dxdy)/(x^2+y^2+R^2)=∫∫α(R^2dxdy)/(x^2+y^2+R^2)-∫∫α(R^2dxdy)/(x^2+y^2+R^2)=0对于圆柱面∑3，因为在xoy面上的投影面积为0，所以dxdy=0利用柱面的法向量n=(x,y)所以第一类曲面积分和第一类曲面积分的关系为dydz=[x/√(x^2+y^2)]dS=(x/R)dS=(x/R)2πRdz=2πxdz所以∫∫∑3(xdydz+z^2dxdy)/(x^2+y^2+z^2)=∫∫∑3(xdydz)/(x^2+y^2+z^2)=2π∫(x^2dz)/(x^2+y^2+z^2)=2π∫(x^2dz)/(R^2+z^2)=π∫(x^2+y^2)dz/(R^2+z^2)=π∫(-R->R)R^2dz/(R^2+z^2)=πR∫(-R->R)d(z/R)/[1+(z/R)^2]=πRarctan(z/R)|(-R->R)=πR[π/4-(-π/4)]=(π^2)R/2综上，原积分=∫∫∫∑1+∑2+∑3=(π^2)R/2