（2014?郑州二模）如图，经过原点的抛物线y=-x2+2mx（m＞0）与x轴的另一个交点为A．过点P（1，m）作直线P

（2014?郑州二模）如图，经过原点的抛物线y=-x2+2mx（m＞0）与x轴的另一个交点为A．过点P（1，m）作直线PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B，记点B关于抛物线对称轴的对称点为C（点B，点C不重合）．连接CB，CP．（1）当m=52时，求点A的坐标及BC的长；（2）当m＞1时，连接CA，当CA⊥CP时，求m的值；（3）过点P作PE⊥PC且PE=PC，问是否存在m，使得点E恰好落在坐标轴上？若存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．

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解：（1）当m=

5

2

时，y=-x²+5x；
令y=0，得-x²+5x=0．
∴x₁=0，x₂=5，
∴A（5，0）．
当x=1时，y=4，
∴B（1，4）．
∵抛物线y=-x²+5x的对称轴为直线x=

5

2

，
又∵点B，C关于对称轴对称，
∴BC=3；

（2）过点C作CH⊥x轴于点H（如图）．
由已知得培源∠ACP=∠BCH=90°
∴∠ACH=∠PCB．
又∵配运态∠AHC=∠PBC=90°，
tan∠ACH=tan∠PCB．
∴

AH

CH

＝

PB

BC

．
∵抛物线y=-x²+2mx的对称轴为直线x=m，其中m＞1，
又∵B，C关于对称轴对称，
∴BC=2（m-1）．
∵B（1，2m-1），P（1，m），
∴BP=m-1．
又∵A（2m，0），C（2m-1，2m-1），
∴H（2m-1，0）．
∴AH=1，CH=2m-1．
∴

1

2m?1

＝

m?1

2(m?1)

，
∴m=

3

2

；

（3）存在．
∵B，C不重合，
∴m≠1，分两种情况：
①悄扰当m＞1时，m=2，相对应的E点坐标是（2，0）或（0，4）；
②当0＜m＜1时，m=

2

3

．，相对应的E点坐标是（

4

3

，0）；
∴E点坐标是（2，0）或（0，4）或（

4

3

，0）．

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