定义在R上的函数y=f(x),f(0)不等于零,当x>0时,f(x)>1,且对任意的a,b∈R,有f(a+b)=f(a)f(b).
(1)求证:f(0)=1;
(2)求证:对任意的x∈R,恒有f(x)>0;
(3)求证:f(x)是R上的增函数.
(4)若f(x)f(2x-x^2)大于1,求x的取值范围.
证明:野衫
(1)
当a=0,b=1时,根据条件,有f(0+1)=f(1)*f(0),f(1)=f(1)*f(0),又因基信为F(1)不等于0,所以F(0)等于1.
(2)
设a>0,b<0,且a+b>0,此时F(a+b)=f(a)*f(b),此时F(A+B)>O,F(A)>O,所以F(B)>0.
(3)
设a>b,
F(a)=f(a-b)f(b),此时A-B>0,所搏脊轮以F(A-B)>0,所以F(A)>F(B)
(4)
f(X)*F(2X-X^2)=F(X+2X-X^2)>1,所以3x-x^2>0,所以0<X<3.
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